正弦定理证明【正弦定理的证明】

1、步骤1　　在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。

2、作CH⊥AB垂足为点H　　CH=a·sinB　　CH=b·sinA　　∴a·sinB=b·sinA　　得到　　a/sinA=b/sinB　　同理，在△ABC中，　　b/sinB=c/sinC　　步骤　　证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R、如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.　　作直径BD交⊙O于D.　　连接DA.　　因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度　　因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠ACB.　　所以c/sinC=c/sinD=BD=2R　　类似可证其余两个等式。

1、正弦定理证明方法方法1　　用三角形外接圆　　证明、任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.　　作直径BD交⊙O于D.连接DA.　　因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度　　因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R　　类似可证其余两个等式。

2、∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R　　正弦定理证明方法方法2　　用直角三角形　　证明、在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。

3、作CH⊥AB垂足为点H　　CH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB　　同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC∴a/sinA=b/sinB=c/sinC　　在直角三角形中,在钝角三角形中(略)。

4、正弦定理证明方法方法3　　用三角形面积公式　　证明、在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。

5、作CD⊥AB垂足为点D，作BE⊥AC垂足为点E，则CD=a·sinB，BE=csinA,由三角形面积公式得、AB·CD=AC·BE　　即c·a·sinB=b·csinA∴a/sinA=b/sinB同理可得b/sinB=c/sinC　　∴a/sinA=b/sinB=c/sinC　　用余弦定理、a^2+b^2-2abCOSc=c^2　　COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab　　SINc^2=1-COSc^2　　SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2　　=(2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2)/4a^2*b^2*c^2　　同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2　　得证　　正弦定理、三角形ABC中BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC　　证明如下、在三角形的外接圆里证明会比较方便　　例如，用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到、2RsinD=BC(R为三角形外接圆半径)　　角A=角D　　得到、2RsinA=BC　　同理、2RsinB=AC，2RsinC=AB　　这样就得到正弦定理了。

1、证明正弦定理的方法是做一个边长为a，b，c的三角形，对应角分别是A，B，C，从角C向c边做垂线，得到一个长度为h的垂线和两个直角三角形即可。

2、正弦定理是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”。

3、“同径法”，早为13世纪阿拉伯数学家、天文学家纳绥尔丁和15世纪德国数学家雷格蒙塔努斯所采用。

4、“同径法”是将三角形两个内角的正弦看作半径相同的圆中的正弦线(16世纪以前，三角函数被视为线段而非比值)，利用相似三角形性质得出两者之比等于角的对边之比。

5、纳绥尔丁同时延长两个内角的对边，构造半径同时大于两边的圆。

6、正弦定理提出者人生经历、原担任库锡斯坦总督阿卜杜拉希姆的星象官。

7、后到波斯阿拉木特堡伊斯玛仪派的尼扎尔派第八代长老鲁克尼丁(?～1256)所占据的阿拉木特堡总部任助手并从事天文研究。

8、1256年11月，旭烈兀率蒙古军侵入阿拉木特的重要据点麦门吉兹城堡，纳绥尔丁敦促鲁克尼丁向蒙古人投降，蒙古人杀其长老和信徒，占领所有堡垒。

9、纳绥尔丁投蒙古军继续西侵，任旭烈兀随军参事。

10、1258年，蒙古军攻陷巴格达，灭阿拔斯王朝后，旭烈兀任命纳绥尔丁为主管宗教及遗产的官员，并采纳其建议，在马拉格城西山岗上建造了一座规模宏大的天文台，配备有精密的观测仪器，设有藏书40万册的图书馆，纳绥尔丁担任台长。

11、该台招聘西班牙、阿拉伯、叙利亚、波斯及中国的天文历算学家，从事观测和研究。

1、在同一个圆中，对应同一段弧的角相等，即角C=角D，所以c/sinC=c/sinD，ABD为直角三角形，sinD=c/2R，所以c/sinC=c/sinD=2R，同理可证a/sinA=b/sinB=2R。

2、由正弦定理(只限于前三项)得ab/sino=r/sin∠bao又∵sino=sin(2c)=2sinccosc(二倍角公式)sin∠bao=cosc(诱导公式)∴ab/(2sinccosc)=r/cosc(代入)若cosc≠0，则ab/(2sinc)=rab/sinc=2r若cosc=0，则c=π/2总之，无论cosc是否为0，均有ab/sinc=2r终得到完整的正弦定理、a/sina=b/sinb=c/sinc=2r(r为外接圆半径)定理意义、正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。

3、由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

4、一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。

5、已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

6、正弦定理是解三角形的重要工具。

7、在解三角形中，有以下的应用领域、已知三角形的两角与一边，解三角形。

8、已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。

9、运用a、b、c=sinA、sinB、sinC解决角之间的转换关系。

1、正弦定理是三角学中的一个基本定理，它指出，在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r=Dr为外接圆半径，D为直径。

2、在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R，直径为D。

3、则有、a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r=D(r为外接圆半径，D为直径)一个三角形中，各边和所对角的正弦之比相等，且该比值等于该三角形外接圆的直径(半径的2倍)长度。

4、正弦定理发展简史历史上，正弦定理的几何推导方法丰富多彩。

5、根据其思路特征，主要可以分为两种。

6、第一种方法可以称为“同径法”，早为13世纪阿拉伯数学家、天文学家纳绥尔丁和15世纪德国数学家雷格蒙塔努斯所采用。

7、同径法是将三角形两个内角的正弦看作半径相同的圆中的正弦线(16世纪以前，三角函数被视为线段而非比值)，利用相似三角形性质得出两者之比等于角的对边之比。

8、纳绥尔丁同时延长两个内角的对边，构造半径同时大于两边的圆。

9、雷格蒙塔努斯将纳绥尔丁的方法进行简化，只延长两边中的较短边，构造半径等于较长边的圆。

10、17~18世纪，中国数学家、天文学家梅文鼎和英国数学家辛普森各自独立地简化了同径法。

1、Sinetheorem在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

2、即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍)余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

3、该图中，a与b应互换位置第一个正弦定理，第二个余弦定理。

1、步骤在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。

2、作ch⊥ab垂足为点hch=a·sinbch=b·sina∴a·sinb=b·sina得到a/sina=b/sinb同理，在△abc中，b/sinb=c/sinc步骤证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r、任意三角形abc,作abc的外接圆o.作直径bd交⊙o于d.连接da.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.所以c/sinc＝c/sind=bd=2r类似可证其余两个等式。

3、步骤3记向量i，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c∴a+b+c=0则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)=-asinc+csina=0接着得到正弦定理。

1、证明方法有四种、利用三角形高来证明正弦定理。

2、利用三角形面积来证段闭明正弦定理。

3、向量法证明正弦定理。

4、外接圆证明正弦定理。

5、具体证明或燃塌方面见下图、衫圆。

1、平面几何法证明一。

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